logo Gonitzoggoβ

Drifting Far Apart


প্রত্যয় ও পায়েল দুইজনের কাছে দুইটি সংখ্যা যথাক্রমে $n$ ও $m$ আছে যেখানে $n > m$. প্রতিদিন প্রত্যয় তার সংখ্যাটিকে $2$ দিয়ে গুণ করে $2$ বিয়োগ করে, আর পায়েল তার সংখ্যাটিকে $2$ দিয়ে গুণ করে $2$ যোগ করে। অর্থাৎ, প্রথমদিন তাদের সংখ্যা দুইটি হবে যথাক্রমে $(2n - 2)$ এবং $(2m + 2)$ । এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $x$ প্রমাণসহ নির্ণয় কর যেন $n - m \geq x$ হলে প্রতিদিনই প্রত্য্যের সংখ্যা পায়েলের সংখ্যা থেকে বড় হবে।


Proof Based Problems  


  1 Upvote                    0 Downvote


Solution

Disclaimer: The solutions we've shared are just one exciting approach, and there are surely many other wonderful methods out there. We’d love to hear your alternative solutions in the community thread below, so let's keep the creativity flowing!

Suppose for some day, we have $n-m=k$. Then,

$n-m = k $

$2n-2m = 2k $

$2n-2-2m-2 = 2k-2-2 = 2k-4 $

$ (2n-2)-(2m+2) = 2k-4$

That means the difference will be $2k-4$ on the next day. From this, it's easy to see that when $k<4$, the difference will keep decreasing each day and eventually Payel's number will become larger. On the other hand, when $k\geq4$, the difference does not decrease. Therefore, our answer is $x=4$.

This is a proof based problem added for learning purposes and does not accept submissions.

You can view the solution by clicking on the solution tab.

Editorial


Need a hint? Checkout the editorial.

View Editorial