Niloy's Money Machine


নিলয় তোমাকে একটি টাকা উৎপাদনকারী মেশিন দিলো। যদি তুমি এই মেশিনে কিছু টাকা জমা দাও তাহালে এই মেশিনও তোমাকে কিছু টাকা ফেরত দিবে। তুমি যদি এই মেশিনে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা দাও এবং তার সাথে আরো $7$ টাকা দাও তাহালে এই মেশিন ঐ নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা দ্বিগুণ করে ফেরত দিবে। তোমার কাছে যদি $2023 $টাকা থাকে তাহালে এই মেশিন থেকে তুমি সর্বোচ্চ কতো টাকা ফেরত পেতে পারো? 


Proof Based Problems  


  0 Upvote                    0 Downvote


Solution

Disclaimer: The solutions we've shared are just one exciting approach, and there are surely many other wonderful methods out there. We’d love to hear your alternative solutions in the community thread below, so let's keep the creativity flowing!

We can get an infinite amount of Taka from the machine.


Let $n_k$ denote the amount of money we have after $k$ exchanges with the machine. If we give the machine $x_k$ Taka s.t. $x_k>7$ in the $k$'th exchange, then the machine will return $2(x_k-7)=2x_k-14$ Taka. So, \[n_k=n_{k-1}-x_k+2x_k-14=n_{k-1}+x_k-14\]


So, if $x_k\geq 15$, then $n_k\geq n_{k-1}+1$.

We have $2023$ Taka in the beginning, so we can clearly give the machine 15 Taka in every move. So the total amount of money always increases by at least $1$.


$\therefore$ We can get an infinite amount of money.

This is a proof based problem added for learning purposes and does not accept submissions.

You can view the solution by clicking on the solution tab.