গণিত উৎসবে কিংবা বলতে পারো কমপ্লিকেটেড ম্যাথমেটিক্স রিলেটেড কোনো কম্পিটিশন, পরীক্ষাতে একটা খুব কমন ম্যাথ হলো, "$H$ টা $M$ মিনিট সময়ে কোনো একটা ঘড়ির ঘণ্টার কাটা এবং মিনিটের কাটার অন্তর্ভুক্ত কোণের মান কত?"। এই প্রকার অংক তোমাদের সামনে একবার হলেও এসেছে। কিন্তু এটা সমাধান করবো কি ভাবে? ঘড়ির কাঁটার হিসাব করে আমাদের বাস্তব জীবনে কি কাজে লাগবে?তো চলো! আজকে আমাদের আলোচনা এই ঘড়ির কাটা নিয়েই শুরু করি।

গণিতপ্রেমী রাইমা একদিন তার বান্ধবী তুলিকে তাদের বাসায় নিমন্ত্রণ করলো।তুলি কখনো রাইমাদের বাসায় যায়নি। মজার ব্যাপার হলো, তুলি এবং রাইমার বাসার মাঝে একটা সোজা রাস্তা, কোনো মোড় নিতে হয়না। তুলিকে শুধু রাইমার বাসায় যেতে কত স্টেপ হাটা লাগবে, সেটা বলে দিলেই সে চলে যেতে পারবে। তুলির বাসার আগে হলো সিয়ামের বাসা। ঠিকানা জানতে চাওয়ায় রাইমা তুলিকে বললো, সিয়াম আমার বাসায় আসতে $995$ স্টেপ হাটে। এদিকে, তুলি যেবার সিয়ামের বাসায় গিয়েছিল, সেবার তুলিকে $89$ স্টেপ যেতে হয়েছিল। প্রশ্ন হলো, তুলি কি রাইমার বাসায় পৌঁছাতে পারবে? অবশ্যই পারার কথা। খুব সহজেই তুলি বিয়োগ করে বের করে ফেললো যে, রাইমার বাসায় যেতে তার $906$ স্টেপ হাটা লাগবে।

এই ঘটনাটা কিন্তু আমাদের খুব মজার একটা জিনিসের সাথে পরিচয় করিয়ে দিলো। তুলি এবং রাইমা দুইজনই সিয়ামকে আদর্শ ধরে সমাধান করে নিজেদের বাসার দুরত্ব বের করে ফেলেছে। ঠিক এভাবেই আমরা ঘড়ির ঘণ্টা, মিনিট, সেকেন্ড কাটার অন্তর্ভুক্ত কোণ বের করে ফেলতে পারি। প্রথমে ঘড়ির যেকোনো একটা পয়েন্টকে আদর্শ ধরে নিতে হবে। সাধারণত $12$ চিহ্নিত পয়েন্টকে আদর্শ করে নিই। এবার, ঘণ্টার কাটা এই $12$ থেকে কতটা দূরে গিয়েছে এবং মিনিটের কাটা কতটা দূরে গিয়েছে, সেটা হিসাব করে অতিক্রান্ত দুরত্বের পার্থক্য বের করলেই হয়ে গেলো। তবে এখানে আমরা অতিক্রান্ত দূরত্বের বদলে অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব নিয়ে কাজ করবো। কৌণিক দুরত্ব বলতে $0^{\circ}$ অবস্থান বা আদি অবস্থান থেকে কত কোণে আবর্তিত হয়েছে, সেটা। এখানে $12$ হলো আমাদের আদর্শ পয়েন্ট তথা $0^{\circ}$ অবস্থান।

ঘণ্টার কাটার হিসাব:সাধারণত অ্যানালগ ক্লকগুলোতে $12$ ঘণ্টার জন্য $12$ টা পয়েন্ট চিহ্নিত থাকে। ঘণ্টার কাটা ঠিক$12$ থেকে শুরু করে আবার$12$ তে ব্যাক করলে আমরা বলি, $12$ ঘণ্টা হয়েছে। অর্থাৎ সময় অতিক্রম হয়েছে $12$ ঘণ্টা। কিন্তু আমাদের তো দরকার কোণের হিসাব। সেক্ষেত্রে, যেহেতু একবার প্রদক্ষিণ করেছে, ফলে কৌণিক দূরত্ব $360^{\circ}$ বললে খুব একটা অপরাধ হবেনা। তাহলে, $12$ ঘণ্টা সময়ের জন্য কৌণিক দূরত্ব হলো $360^{\circ}$। এক ঘণ্টার জন্য কত হবে? সেই ক্লাস ফাইভের ঐকিক নিয়ম খাটিয়ে বলে দিলাম $30^{\circ}$! অর্থাৎ ঘণ্টার কাটা কোনো এক পয়েন্ট থেকে পরবর্তী পয়েন্টে যেতে $30^{\circ}$ কোণ ঘুরে যায়, বলতে পারো $30^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু, একটা জিনিস খেয়াল করেছো? যখন সময় ঠিক $1$ টা বাজবে, তখন ঘণ্টার কাটা $1$ চিহ্নিত পয়েন্টে থাকে এবং মিনিটের কাটা কিন্তু $0$ তে, এখানে আমাদের আদর্শ পয়েন্ট $12$ বোঝানো হয়েছে। এবার, মিনিটের কাটা একটু একটু করে ক্লকওয়াইজ ঘুরতে থাকে এবং ঠিক $60$ মিনিট পরেই কিন্তু মিনিটের কাটা আবার আদর্শ তে ফিরে আসলে আমরা দেখি ঘণ্টার কাটা পরবর্তী পয়েন্ট চলে গিয়েছে। এখান থেকে বলা যায় যে, $60$ মিনিট সময়ের জন্য ঘণ্টার কাটার অতিক্রান্ত  কৌণিক দুরত্ব হবে সেই $30^{\circ}$। আবারো ঐকিক নিয়ম, পেয়ে গেলাম $1$ মিনিট সময়ের জন্য ঘণ্টার কাটার অতিক্রান্ত  কৌণিক দুরত্ব, সেটা হলো $0.5^{\circ}$।

এদিকে আরেকটু গভীরে গেলে আমরা কিন্তু সেকেন্ড কাটাকেও হিসাব করে ফেলতে পারি। $1$ ঘণ্টা সময়ের জন্য সেকেন্ড কাটাকে মোট $3600$ একক যেতে হয়, অর্থাৎ $3600$ সেকেন্ড গেলে আমরা বলতে পারি ঘণ্টার কাটা এক একক গিয়েছে। তাহলে প্রতি সেকেন্ডের জন্য ঘণ্টার কাটার অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব হবে $0.0083^{\circ}$। এটা এতটাই ক্ষুদ্র যে, আমরা হিসাব করি না।এখান থেকে আমরা বলতে পারি, ঘণ্টার কাটার মোট অতিক্রান্ত  কৌণিক দুরত্ব হবে ঘণ্টা কাটার নিজস্ব অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব, মিনিট কাটার জন্য ঘণ্টার কাটার অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব, সেকেন্ড কাটার জন্য ঘণ্টার কাটার অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্বের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, কোনো একটা সময় $H(hour):M(minute) :S(second)$ এর জন্য ঘণ্টার কাটার অতিক্রান্ত মোট কৌণিক দুরত্ব $ = (\frac{360}{12} \times H) + (\frac {30} {60} \times M) + (\frac{30}{3600}\times S)^{\circ}\dots \dots (1_)$

যেহেতু, আমরা সেকেন্ড কাটার জন্য ঘটিত সরণ হিসাব করিনা, সেক্ষেত্রে বলা যায় মোট অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব $ = (30H + \frac{M}{2})^{\circ}\dots \dots (2)$

মিনিটের কাটার হিসাব:একই নিয়মে মিনিটের কাটা ঘড়িকে একবার প্রদক্ষিণ করলেঅতিক্রান্ত সময় হয় $60$ মিনিট এবং অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব হয় $360^{\circ}$। অর্থাৎ প্রতি মিনিটের জন্য মিনিটের কাটা অতিক্রম করবে $6^{\circ}$ করে। যেহেতু আমরা সেকেন্ড কাটাকে হিসাব করছি না, সেক্ষেত্রে এটাই মিনিটের কাটার মোট কৌণিক দুরত্ব হবে এবং এই দূরত্ব হলো $=6M^{\circ}\dots \dots (3)$

যদি সেকেন্ড কাটাকে হিসাব করতাম, তাহলে কি হতো? তখন আমরা বলতাম যে, ঠিক ঠিক $60$ সেকেন্ডের জন্যই তো মিনিটের কাটার এই $6^{\circ}$ কৌণিক দুরত্ব অতিক্রম করতো। তাহলে, এক সেকেন্ড সময়ের জন্য মিনিটের কাটার অতিক্রান্ত কৌণিক দুরত্ব হতো $0.1^{\circ}$। তাহলে, মিনিটের কাটার অতিক্রান্ত মোট কৌণিক দুরত্ব হতো = $(\frac{360}{60} \times M) + (\frac{6}{60} \times S)^{\circ}\dots \dots (4)$

এখন সবথেকে মজার আলোচনা। যেহেতু কোনো এক সময় ঘণ্টার কাটার পরে মিনিটের কাটা থাকে (যেমন: দুপুর $3$ টা $50$ মিনিট), আবার কোনো এক সময় মিনিটের কাটার আগে ঘণ্টার কাটা থাকে (যেমন: রাত $10$ টা $20$ মিনিট), তাহলে কোন কাটার থেকে কোন কাটার অতিক্রান্ত দুরত্ব বিয়োগ করলে মধ্যবর্তী দুরত্ব পাবো? একটু ভেবে দেখো। $5$ এবং $8$ এর মধ্যে সম্পর্ক হলো $8 \gt 5$, অর্থাৎ পার্থক্য বের করতে সর্বদা $(8-5)$ করতে হবে। কিন্তু, ঘড়ির ক্ষেত্রে দুইটি কাটা কর্তৃক অতিক্রান্ত দুরত্ব বের করার পরে আমরা বুঝতে পারবো কোনটা থেকে কোনটা বিয়োগ করতে হবে।

আলোচিত উপাত্ত থেকে একটা সূত্র জেনারেট করতে হলে আমরা এভাবে রেখে দিতে পারি না। সেক্ষেত্রে যেহেতু দুরত্ব সংবলিত রাশিতে শুধুমাত্র ধনাত্মক মানটা লাগবে, আমরা এখানে মডুলাস বা পরমমান ব্যবহার করে এই সমস্যা সমাধান করে ফেলতে পারি।

সেকেন্ড কাটার জন্য ঘটিত সরণ হিসাব না করে,

$(2)$ থেকে $(3)$ বিয়োগ করে পাই,

$=(30H + \frac{M}{2} - 6M)^{\circ}$

$=(\frac{60H+M-12M}{2})^{\circ}$

$=(\frac{60H-11M}{2})^{\circ}$

সেকেন্ড কাটার জন্য ঘটিত সরণ হিসাব করে,

$(1)$ থেকে $(4)$ বিয়োগ করে পাই,

---