গ্যালিলিও প্রথম প্রাসের গতি বা Projectile motion সঠিক ভাবে ব্যাখ্যা করেন।

প্রথমেই মনে হতে পারে প্রাস আবার কি জিনিস!প্রাস হচ্ছে একটি বস্তু যাকে বাহ্যিক বল প্রয়োগ করে ছুঁড়ে মারা হয় এবং যা তার জড়তার কারণে তার স্বাভাবিক গতিশীলতা বজায় রাখে। যেমনঃ ছুঁড়ে মারা বল বা পাথর, কামান বা বন্দুক থেকে ছোঁড়া গুলি।

গ্যালিলিও দেখান যে প্রাসের গতিকে অনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশে বিশ্লেষণ করে এর গতিপথ বোঝা যায়। উপাংশ ব্যাপারে জানো? সমস্যা নাই, বলছি আমি। কোনো বস্তুকে নির্দিষ্ট কোণে ছুঁড়ে মারলে দেখবে এটা একই সাথে সামনে আর উপরের দিকে যেতে থাকে। বেগের যে উপাংশ (মূল বেগের ছোট একটা অংশ) টা বলকে উপরের দিকে নিয়ে যায় তা বেগের উলম্ব উপাংশং আর যে উপাংশ সামনের দিকে নিয়ে যায় তা বেগের অনুভূমিক উপাংশ।

তোমাদের বেসিক ত্রিকোনমিতি জানা থাকলেই চিত্র দেখে বুঝতে পারবে উলম্ব উপাংশ কেন মূল বেগ ও নিক্ষেপ কোণের সাইনের গুণফলের সমান হয় এবং অনুভূমিক উপাংশ কেন মূল বেগ ও নিক্ষেপ কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান হয়।

আমাদের সবারই হয়ত গতির সমীকরণ গুলো জানা আছে।

$v = u+at$ $s = (\frac{u+v}{2})t$ $s = ut + \frac 1 2 a t^2$ $v^2 = u^2+2as$ প্রাসের গতি আরো ভালো করে বোঝার জন্য নিচের প্রশ্নগুলো ভালো করে পড়ো এবং নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো- একটা বল $20ms^{-1}$ বেগে অনুভূমিক এর সাথে $45^o$ কোণে ছুঁড়ে মারা হলো আর নিচের দুইটা প্রশ্ন তোমাকে করা হলো- ১) বলটি কত দূরে গিয়ে পড়বে? ২) উড্ডয়নকালে বলটি দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত? [হিসাবের সুবিধার্থে $g=10ms^{-2}$ ধরে নিতে পারো ]

..

প্রথম প্রশ্নের সমাধান বের করতে আহামরি তেমন কোনো সমস্যা হওয়ার কথা না।

বলটার বেগের অনুভূমিক উপাংশ, $v_x=vcos\theta$

উলম্ব উপাংশ, $v_y=vsin\theta$

এবার, উলম্ব দূরত্ব হিসাবের জন্য আমরা, $s = ut + \frac 1 2 a t^2$ সমীকরণ এভাবে মডিফাই করে নিতে পারি,

$y=vsin \theta t - \frac 1 2 g t^2$

এখানে, অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাব নিম্নমুখী বলে ‘a’ এর পরিবর্তে  ‘-g’ লিখেছি।

বলটি যেহেতু উড্ডয়নের পর আবার মাটিতেই ফিরে এসেছে, তাই উলম্ব সরণ শূন্য। লক্ষ করলে বুঝতে পারবে $y=0$ দুই ক্ষেত্রে সম্ভব। যখন বলটা ছোঁড়া হয়নি আর যখন বলটা মাটিতে ফিরে আসবে । এজন্যই দ্বিঘাত সমীকরণটি থেকে $t$ এর দুইটি মান পাওয়া যাবে।

$t=0$ এবং $t=\frac {2vsin\theta}{g}$

যেহেতু অনুভূমিক বরাবর কোনো ত্বরণ নেই তাই অনুভূমিক বরাবর বলটা সমবেগে চলবে, এক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব $R$ হলে,

$R=v.cos\theta.t=\frac{2v^2sin\theta cos\theta}{g}$

দেখে ঘাবড়ানোর কোনো কারণ নাই ,এখানে শুধু আগে পাওয়া $t$ এর অশূন্য মান ১ নম্বর সমীকরণে বসিয়েছি। এবার প্রশ্নে দেওয়া মান গুলো বসালেই উত্তর চলে আসবে, $R=40m$.

প্রথম প্রশ্নটা দেখে তোমার মনে হতেই পারে, “আরে, ধুর! এইটা কোনো প্রশ্ন হলো?” হয়তো তোমাদের মধ্যে কেউ কেউ মুখে মুখেই সমাধান করে ফেলেছো।

তবে দ্বিতীয় প্রশ্নটার সমাধান কীভাবে করা যেতে পারে তা তোমার আগে থেকে জানা না থাকলে হয়ত খাতা কলম নিয়ে বসে সমাধান করার চেষ্টা করতে হবে।

এই প্রশ্নটা ক্যালকুলাস এর সাহায্যে অনেক সহজেই সমাধান করা যায়। ক্যালকুলাসের দুইটা অংশ আছে - ১) ডিফারেন্সিয়েশান বা কোনো রেখার ঢাল বা ডেরাইভেটিভ নির্ণয় করা এবং ২) ইন্টিগ্রেশান বা কোনো রেখা দ্বারা আবদ্ধ রেখার একটা সীমা পর্যন্ত ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা। এইটা তাহলে আমাদের সমস্যায় কীভাবে সাহায্য করে?

ধরে নেই বলটা দ্বারা অতিক্রান্ত অতি ক্ষুদ্র অনুভূমিক দূরত্ব $dx$ এবং উলম্ব সরণ $dy$ এ সৃষ্ট চাপ $ds$।

$ds, dx, dy$ এতটাই ক্ষুদ্র যে বক্র এই বৃত্তচাপের অংশ $ds$ সরলরেখাংশ হয়ে যায় এবং এরা পরস্পরের সাথে সমকোনী ত্রিভুজ তৈরি করে। আমি চিত্রে যতটুকু ছোট দেখিয়েছি, $ds$ তার থেকে আরো অনেক ছোট হবে।  পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী তাই লেখা যায়,

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$

এবার $dx$ কে স্কয়ার রুটের বাইরে এনে এভাবে লেখা যায়-

$ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$

লক্ষ কর, এখানে $\frac{dy}{dx}$ কিন্তু $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর ফাংশনের ডেরাইভেটিভ।

(১) নম্বর সমীকরণের কথা নিশ্চয়ই মনে আছে তোমাদের,

 $y=v sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2$

$=xtan\theta-\frac{gx^2}{2v^2cos^2\theta}$          কারণ,  $t=\frac{x}{vcos\theta}$

এবার একে ডিফারেন্সিয়েট করলে পাওয়া যায়,

$\frac{dy}{dx}=tan \theta-\frac{gx}{v^2cos^2\theta}$

প্রশ্নে দেওয়া,$\theta=45^o, v=20m/s, g=10m/s^2$ মানগুলো বসিয়ে পাই,

$\frac{dy}{dx}=1-0.05x$

অর্থাৎ,  $ds=\sqrt{1+(1-0.05x)^2dx}$

মনে আছে, এটা বৃত্তচাপের অনেক ছোট একটা অংশ ছিল? সম্পূর্ণ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য পেতে হলে একে আমাদের ইন্টিগ্রেট করতে হবে। ইন্টিগ্রেশনের সীমা হবে $0$ থেকে বলটির মাটিতে পড়ার আগে পর্যন্ত অনুভূমিকভাবে অতিক্রান্ত দূরত্ব। মনে হতে পারে, সীমা টা সময় বা উলম্ব বরাবর দূরত্ব হলো না কেন? খেয়াল করে দেখো, আমাদের $ds$ এর সমীকরণের চলক হচ্ছে  $dx$, যা অনুভূমিক দূরত্ব নির্দেশ করে। 

আমাদের কিন্তু $R$ এর মান জানা আছে, প্রথম প্রশ্নের উত্তরে বের হয়েছিলো, $R=40m$

ক্যালকুলেটর চাপলে উত্তর চলে আসবে, $S\approx 45.9$

খুব একটা কঠিন ছিলো তাও না। আর এটা যে সমাধানে পৌছানোর একমাত্র উপায় তাও ধরে নেওয়ার কোনো কারণ নাই। চাইলে সময়কে চলক ধরেও এটা সমস্যা টা সমাধান করা যায়।  এই সমাধান টা নাহয় তোমাদের উপর ছেড়ে দিলাম!

[ Hint : সময়ের সাপেক্ষে বেগকে দ্রুতিকে  ইন্টিগ্রেট করলে অতিক্রান্ত দূরত্ব পাওয়া যায় ]

- Shuvodip Das Showmik

---