Arc Length of a Projectile








গ্যালিলিও প্রথম প্রাসের গতি বা Projectile motion সঠিক ভাবে ব্যাখ্যা করেন।


প্রথমেই মনে হতে পারে প্রাস আবার কি জিনিস!প্রাস হচ্ছে একটি বস্তু যাকে বাহ্যিক বল প্রয়োগ করে ছুঁড়ে মারা হয় এবং যা তার জড়তার কারণে তার স্বাভাবিক গতিশীলতা বজায় রাখে। যেমনঃ ছুঁড়ে মারা বল বা পাথর, কামান বা বন্দুক থেকে ছোঁড়া গুলি।


গ্যালিলিও দেখান যে প্রাসের গতিকে অনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশে বিশ্লেষণ করে এর গতিপথ বোঝা যায়। উপাংশ ব্যাপারে জানো? সমস্যা নাই, বলছি আমি। কোনো বস্তুকে নির্দিষ্ট কোণে ছুঁড়ে মারলে দেখবে এটা একই সাথে সামনে আর উপরের দিকে যেতে থাকে। বেগের যে উপাংশ (মূল বেগের ছোট একটা অংশ) টা বলকে উপরের দিকে নিয়ে যায় তা বেগের উলম্ব উপাংশং আর যে উপাংশ সামনের দিকে নিয়ে যায় তা বেগের অনুভূমিক উপাংশ।


তোমাদের বেসিক ত্রিকোনমিতি জানা থাকলেই চিত্র দেখে বুঝতে পারবে উলম্ব উপাংশ কেন মূল বেগ ও নিক্ষেপ কোণের সাইনের গুণফলের সমান হয় এবং অনুভূমিক উপাংশ কেন মূল বেগ ও নিক্ষেপ কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান হয়।





আমাদের সবারই হয়ত গতির সমীকরণ গুলো জানা আছে।

$v = u+at$
$s = (\frac{u+v}{2})t$
$s = ut + \frac 1 2 a t^2$
$v^2 = u^2+2as$

প্রাসের গতি আরো ভালো করে বোঝার জন্য নিচের প্রশ্নগুলো ভালো করে পড়ো এবং নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো-



একটা বল $20ms^{-1}$ বেগে অনুভূমিক এর সাথে $45^o$ কোণে ছুঁড়ে মারা হলো আর নিচের দুইটা প্রশ্ন তোমাকে করা হলো-


১) বলটি কত দূরে গিয়ে পড়বে?


২) উড্ডয়নকালে বলটি দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত? [হিসাবের সুবিধার্থে $g=10ms^{-2}$ ধরে নিতে পারো ]




..

প্রথম প্রশ্নের সমাধান বের করতে আহামরি তেমন কোনো সমস্যা হওয়ার কথা না।


বলটার বেগের অনুভূমিক উপাংশ, $v_x=vcos\theta$

উলম্ব উপাংশ, $v_y=vsin\theta$


এবার, উলম্ব দূরত্ব হিসাবের জন্য আমরা, $s = ut + \frac 1 2 a t^2$ সমীকরণ এভাবে মডিফাই করে নিতে পারি,

$y=vsin \theta t - \frac 1 2 g t^2$

এখানে, অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাব নিম্নমুখী বলে ‘a’ এর পরিবর্তে  ‘-g’ লিখেছি।


বলটি যেহেতু উড্ডয়নের পর আবার মাটিতেই ফিরে এসেছে, তাই উলম্ব সরণ শূন্য। লক্ষ করলে বুঝতে পারবে $y=0$ দুই ক্ষেত্রে সম্ভব। যখন বলটা ছোঁড়া হয়নি আর যখন বলটা মাটিতে ফিরে আসবে । এজন্যই দ্বিঘাত সমীকরণটি থেকে $t$ এর দুইটি মান পাওয়া যাবে।


$t=0$ $t=\frac {vsin\theta}{g}$


To Be Continued...


- Shuvodip Das Showmik