ত্রিভুজের সাইন সূত্র








Sine Law এর নাম শুনেছো নিশ্চয়ই? না শুনে থাকলে এখন শুনে নাও! Sine শব্দটি শুনেই বুঝতে পারছো এটি জ্যামিতির (আরো নির্দিষ্ট করে বললে ত্রিকোণমিতির) সাথে সম্পর্কযুক্ত কোনোকিছু। হ্যাঁ, ঠিকই ধরেছো। চলো দেখে ফেলি এটি আসলে কী?



চিত্র-১ এ, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রে সর্বদাই $\frac {a}{\sin\angle A}=\frac {b}{\sin\angle B}=\frac {c}{\sin\angle C}=2R$ হবে। এই মহাবিশ্বের যেকোনো সমতলীয় ত্রিভুজের জন্যই এটি সত্য হবে। এটিই Sine Law বা Sine Rule নামে পরিচিত। চলো, দেরি না করে এর প্রমাণটা দেখে ফেলি:



প্রতিটি চিত্রে $\triangle ABC$ ভিন্নধর্মী, যাদের $AB = c, BC = a, AC = b$ ও $A$ বিন্দু থেকে $BC$ এর ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু $D$.
এখন, $\triangle ABD$ এ, $\sin \angle B = \frac {c}.$
বা, $AD=c\times \sin \angle B.$
অনুরূপভাবে, $ \triangle ACD$ এ, $AD = b\times \sin \angle C.$
$\therefore AD = c\times \sin\angle B = b\times \sin \angle C.$
বা, $\frac{b}{\sin \angle B}=\frac {c}{\sin \angle C}\dots\dots(i)$
{AD_PLACEMENT}
আবার $C$ থেকে $AB$ এর ওপর লম্ব অঙ্কন করে একই পদ্ধতিতে পাই, $\frac {a}{\sin \angle A}=\frac {b}{\sin \angle B}\dots\dots(ii)$

$\therefore (i)$ ও $(ii)$ থেকে পাই, $\frac {a}{\sin\angle A}=\frac {b}{\sin\angle B}=\frac {c}{\sin\angle C}\dots\dots(iii)$.

এবার $\frac {a}{\sin\angle A}=\frac {b}{\sin\angle B}=\frac {c}{\sin\angle C}=2R$ প্রমাণ করার পালা!



প্রতিটি চিত্রে $\triangle ABC$ ভিন্নধর্মী, যাদের পরিকেন্দ্র $O$ এবং পরিব্যাসার্ধ $= R$. এখন প্রতি চিত্রে $B, O$ যোগ করে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন তা বৃত্তের পরিধিকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। এবার $C, D$ যোগ করি।

চিত্র-৩ এর ৩য় ক্ষেত্রে $\angle A=90^{\circ}$ হওয়ায় $BC = a = BD = 2R$.
বা, $\frac{a}{1}=2R$.
বা, $\frac {a}{\sin 90^{\circ}}=2R$.
বা, $\frac{a}{\sin \angle A}=2R$.
{AD_PLACEMENT}
১ম ও ২য় ক্ষেত্রে, $\angle BCD = 90^{\circ}$ এবং $BD = 2R$.
$\therefore \triangle BCD$ থেকে পাই, $\sin \angle BCD=\frac {BC}{BD}=\frac{a}{2R}\dots\dots(iv)$

এখন ১ম ক্ষেত্রে, $\angle BDC = \angle A$ হওয়ায় $(iv)$ থেকে পাই, $\sin \angle A=\frac{a}{2R}$.
বা, $\frac {a}{\sin \angle A}=2R$.

আবার ২য় ক্ষেত্রে, $\angle BDC = 180^{\circ}-\angle A$ হওয়ায়, $(iv)$ থেকে পাই, $\sin (180^{\circ}-\angle A)=\frac{a}{2R}$
বা, $\sin \angle A=\frac{a}{2R}$.
বা, $\frac{a}{\sin \angle A}=2R$.

$\therefore$ প্রতিক্ষেত্রেই $\frac {a}{\sin \angle A}=2R$ পাওয়া যাচ্ছে। অর্থাৎ এখন আমরা $(iii)$ থেকে বলতে পারি, $\frac {a}{\sin\angle A}=\frac {b}{\sin\angle B}=\frac {c}{\sin\angle C}=2R$.

প্রমাণ শেষ!

Written by: Wasimur Rahman
National Camper, BdMO-2019.